Можно найти, зная основание и высоту . Вся простота схемы заключается в том, что высота делит основание a на две части a 1 и a 2 , а сам треугольник – на два прямоугольных треугольника , площадь которых получается и . Тогда площадь всего треугольника будет суммой двух указанных площадей, и если мы вынесем одну вторую высоты за скобку, то в сумме мы получим обратно основание:
Более сложный для расчетов способ – это формула Герона, для которой необходимо знать все три стороны. Для этой формулы нужно вычислить сначала полупериметр треугольника :
Сама формула Герона подразумевает квадратный корень из полупериметра, умноженного поочередно на разность его с каждой из сторон.
Следующий способ, также актуальный для любого треугольника, позволяет найти площадь треугольника через две стороны и угол между ними. Доказательство этому проистекает из формулы с высотой – проводим высоту на любую из известных сторон и через синус угла α получаем, что h=a⋅sinα . Для вычисления площади умножим половину высоты на вторую сторону.
Другой способ – найти площадь треугольника, зная 2 угла и сторону между ними. Доказательство этой формулы достаточно простое, и наглядно видно из схемы.
Опускаем из вершины третьего угла высоту на известную сторону и называем полученные отрезки x соответственно. Из прямоугольных треугольников видно, что первый отрезок x равен произведению
Предварительные сведения
Для начала введем сведения и обозначения, которые будут необходимы нам в дальнейшем.
Будем рассматривать треугольник $ABC$ с острыми углами $A$ и $C$. Проведем в нем высоту $BH$. Введем следующие обозначения: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $(рис. 1).
Рисунок 1.
Введем без доказательств теорему о площади треугольника.
Теорема 1
Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней, то есть
Формула Герона
Введем и докажем теорему о нахождении площади треугольника по трем известным сторонам. Эта формула носит название формулы Герона.
Теорема 2
Пусть нам даны три стороны треугольника $a,\ b\ и\ c$. Тогда площадь этого треугольника выражается следующим образом
где $p$ - полупериметр данного треугольника.
Доказательство.
Будем пользоваться обозначениями, введенными на рисунке 1.
Рассмотрим треугольник $ABH$. По теореме Пифагора, получим
Очевидно, что $HC=AC-AH=b-x$
Рассмотрим треугольник $\ CBH$. По теореме Пифагора, получим
\ \ \
Приравняем значения квадрата высоты из двух полученных соотношений
\ \ \
Из первого равенства найдем высоту
\ \ \ \ \ \
Так как полупериметр равен $p=\frac{a+b+c}{2}$, то есть $a+b+c=2p$, то
\ \ \ \
По теореме 1, получим
Теорема доказана.
Примеры задач на использование формулы Герона
Пример 1
Найти площадь треугольника, если его стороны равняются $3$ см, $6$ см и $7$ см.
Решение.
Найдем вначале полупериметр этого треугольника
По теореме 2, получим
Ответ: $4\sqrt{5}$.
Предварительные сведения
Для начала введем сведения и обозначения, которые будут необходимы нам в дальнейшем.
Будем рассматривать треугольник $ABC$ с острыми углами $A$ и $C$. Проведем в нем высоту $BH$. Введем следующие обозначения: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $(рис. 1).
Рисунок 1.
Введем без доказательств теорему о площади треугольника.
Теорема 1
Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней, то есть
Формула Герона
Введем и докажем теорему о нахождении площади треугольника по трем известным сторонам. Эта формула носит название формулы Герона.
Теорема 2
Пусть нам даны три стороны треугольника $a,\ b\ и\ c$. Тогда площадь этого треугольника выражается следующим образом
где $p$ - полупериметр данного треугольника.
Доказательство.
Будем пользоваться обозначениями, введенными на рисунке 1.
Рассмотрим треугольник $ABH$. По теореме Пифагора, получим
Очевидно, что $HC=AC-AH=b-x$
Рассмотрим треугольник $\ CBH$. По теореме Пифагора, получим
\ \ \
Приравняем значения квадрата высоты из двух полученных соотношений
\ \ \
Из первого равенства найдем высоту
\ \ \ \ \ \
Так как полупериметр равен $p=\frac{a+b+c}{2}$, то есть $a+b+c=2p$, то
\ \ \ \
По теореме 1, получим
Теорема доказана.
Примеры задач на использование формулы Герона
Пример 1
Найти площадь треугольника, если его стороны равняются $3$ см, $6$ см и $7$ см.
Решение.
Найдем вначале полупериметр этого треугольника
По теореме 2, получим
Ответ: $4\sqrt{5}$.
Эта формула позволяет вычислить площадь треугольника по его сторонам а, b и с:
S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),
где р - полупериметр треугольника, т.е. р = (а + b + с)/2.
Формула названа в честь древнегреческого математика Герона Александрийского (около I в.). Герон рассматривал треугольники с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми числами. Такие треугольники называют героновыми. Например, это треугольники со сторонами 13, 14, 15 или 51, 52, 53.
Существуют аналоги формулы Герона для четырехугольников. В связи с тем, что задача на построение четырехугольника по его сторонам а, Ь, с и d имеет не единственное решение, для вычисления в общем случае площади четырехугольника недостаточно только знания длин сторон. Приходится вводить дополнительные параметры или накладывать ограничения. Например, площадь вписанного четырехугольника находится по формуле: S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)
Если же четырехугольник и вписанный, и описанный одновременно, его площадь находится
по более простой формуле: S=√(abcd)
.
Герон Александрийский - греческий математик и механик.
Он первым изобрёл автоматические двери, автоматический театр кукол, автомат для продаж, скорострельный самозаряжающийся арбалет, паровую турбину, автоматические декорации, прибор для измерения протяжённости дорог (древний одометр) и др. Первым начал создавать программируемые устройства (вал со штырьками с намотанной на него верёвкой).
Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой. Основные произведения: Метрика, Пневматика, Автоматопоэтика, Механика (произведение сохранилось целиком в арабском переводе), Катоптрика (наука о зеркалах; сохранилась только в латинском переводе) и др. В 1814 году было найдено сочинение Герона «О диоптре», в котором изложены правила земельной съёмки, фактически основанные на использовании прямоугольных координат. Герон использовал достижения своих предшественников: Евклида, Архимеда, Стратона из Лампсака. Многие из его книг безвозвратно утеряны (свитки содержались в Александрийской библиотеке).
В трактате «Механика» Герон описал пять типов простейших машин: рычаг, ворот, клин, винт и блок.
В трактате «Пневматика» Герон описал различные сифоны, хитроумно устроенные сосуды, автоматы, приводимые в движение сжатым воздухом или паром. Это эолипил, представлявший собой первую паровую турбину - шар, вращаемый силой струй водяного пара; автомат для открывания дверей, автомат для продажи «святой» воды, пожарный насос, водяной орган, механический театр марионеток.
В книге «О диоптре» описан диоптр - простейший прибор, применявшийся для геодезических работ. Герон излагает в своём трактате правила земельной съёмки, основанные на использовании прямоугольных координат.
В «Катоптрике» Герон обосновывает прямолинейность световых лучей бесконечно большой скоростью их распространения. Герон рассматривает различные типы зеркал, особое внимание уделяя цилиндрическим зеркалам.
«Метрика» Герона и извлечённые из неё «Геометрика» и «Стереометрика» представляют собой справочники по прикладной математике. Среди содержащихся в «Метрике» сведений:
Формулы для площадей правильных многоугольников.
Объёмы правильных многогранников, пирамиды, конуса, усечённого конуса, тора, шарового сегмента.
Формула Герона для расчёта площади треугольника по длинам его сторон (открытая Архимедом).
Правила численного решения квадратных уравнений.
Алгоритмы извлечения квадратных и кубических корней.
Книга Герона «Определения» представляет собой обширный свод геометрических определений, по большей части совпадающих с определениями «Начал» Евклида.
Конспект урока
Тема: «Формула Герона и другие формулы для площади треугольника».
Тип урока : урок открытия новых знаний.
Класс: 10.
Цели урока: обеспечить в ходе урока сознательное повторение формул для вычисления площади треугольника, которые изучаются в школьной программе. Показать необходимость знания II формулы Герона, формулы площади треугольника, заданного в прямоугольной системе координат. Обеспечить сознательное усвоение и применение этих формул при решении задач.
Задачи:
Развивающие: развитие логического мышления, способности самостоятельно решать учебные задачи; развитие любознательность учащихся, познавательного интереса к предмету; развитие творческого мышления, математической речи учащихся;
Воспитательные: воспитание интереса к математике; создание условий для формирования коммуникативных навыков и волевых качеств личности.
Образовательные: углубление знани й модуля действительного числа; обучить умению решать типовые задачи.
Универсальные учебные действия:
Личностные: уважение к личности и ее достоинству; устойчивый познавательный интерес; умение вести диалог на основе равноправных отношений и взаимного уважения.
Регулятивные: ставить цели деятельности на уроке; планировать пути достижения цели; принимать решения в проблемной ситуации на основе переговоров.
Познавательные: в ладеть общими приемами решения задач, выполнения заданий и вычислений; выполнять задания на основе использования свойств модуля действительного числа.
Коммуникативные: а декватно использовать речь для планирования и регуляции своей деятельности; формулировать собственное мнение.
Техническое обеспечение : компьютер, проектор, интерактивная доска.
Структура урока
Мотивационный этап – 2мин.
Домашняя работа – 1 мин.
Этап актуализации знаний по предложенной теме и осуществление первого пробного действия – 10 мин.
Выявление затруднения: в чем сложность нового материала, что именно создает проблему, поиск противоречия - 4 мин.
Разработка проекта, плана по выходу их создавшегося затруднения, рассмотрения множества вариантов, поиск оптимального решения – 2 мин.
Реализация выбранного плана по разрешению затруднения- 5 мин.
Первичное закрепление нового знания - 10 мин.
Самостоятельная работа и проверка по эталону – 5 мин.
Рефлексия, включающая в себя и рефлексию учебной деятельности, и самоанализ, и рефлексию чувств и эмоций – 1мин.
Ход урока.
Мотивационный этап.
Здравствуйте ребята, присаживайтесь. Сегодня наш урок пройдёт по следующему плану: в ходе урока мы изучим новую тему: « Формула Герона и другие формулы для площади треугольника »; повторим те формулы, которые вы знаете; научимся применим эти формулы при решении задач. Итак, приступаем к работе.
Этап актуализации знаний по предложенной теме и осуществление первого пробного действия.
Слайд 1.
Запишите тему урока. Прежде чем приступить непосредственно к формулам, давайте вспомним какие же формулы для вычисления площади треугольника вы знаете?
Слайд 2.
Напишите эти формулы.
Какие же формулы для вычисления площади треугольника вы знаете? (учащиеся вспоминает все изученные ими формулы)
Слайд 3.
Площадь прямоугольного треугольника. S= ab. Запишите формулу
Слайд 4.
Площадь любого треугольника. S= а . a = , = Запишите формулу.
Слайд 5. Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними.
S=½·ab·sinα. Запишите формулу.
А теперь мы изучим новые формулы для нахождения площади.
Слайд 6.
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности. S = Р r. Запишите формулу.
Слайд 7.
Площадь треугольника через R-радиус описанной окружности.
Запишите формулу.
Слайд 8.
Формула Герона.
Прежде чем приступим к доказательству вспомним две теоремы геометрии - это теорема синусов и теорема косинусов.
1. , a=2R; b=2R; c=2R
2., cos γ = .
Слайд 9- 10
Доказательство формулы Герона. Запишите формулу.
Слайд 11.
Формула площади треугольника по трём сторонам была открыта Архимедом в III в до н.э. Однако соответствующая работа до наших дней не дошла. Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I в н. э.) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми. Такие треугольники носят название Героновых треугольников. Простейшим Героновым треугольником является египетский треугольник
Выявление затруднения: в чем сложность нового материала, что именно создает проблему, поиск противоречия.
Слайд 12.
Найдите площадь треугольника с данными сторонами: 4,6,8. Хватает ли сведений для решения задачи? Через какую формулу можно решить данное задание?
Разработка проекта, плана по выходу их создавшегося затруднения, рассмотрения множества вариантов, поиск оптимального решения.
Данную задачу можно решить с помощью формулы Герона. Для начало необходимо найти полупериметр треугольника, а затем полученные значения подставить в формулу.
Реализация выбранного плана по разрешению затруднения.
Нахождение р
p =(13+14+15)/2=21
p - a =21-13=8
p-b=21-14=7
p-c=21-15=6
S = 21*8*7*6=84
Ответ :84
Задача №2
Найдите стороны треугольника ABC , если площадь треугольников ABO , BCO , ACO ,где О-центр вписанной окружности, равны 17,65,80 дц 2 .
Решение:
S =17+65+80=162 –складываем площади треугольников. По формуле
S ABO =1/2 AB * r , следовательно 17=1/2 AB * r ; 65=1/2ВС* r ; 80=1/2 AC * r
34/r=AB; 130/r=BC; 160/r=AC
Находим р
p = (34+130+160)/2=162/ r
(р-а)=162-34=128 (р- c )=162-160=2
(р- b )=162-130=32
По формуле Герона S = 128/ r *2/ r *32/ r *162/ r =256*5184/ r 4 =1152/ r 2
Т.к S =162, следовательно r = 1152/162=3128/18
Ответ: AB=34 /3128/18, ВС=130/3128/18, АС=160/3128/18.
Первичное закрепление нового знания.
№10(1)
Найдите площадь треугольника с данными сторонами:
№12
Самостоятельная работа и проверка по эталону.
№10.(2)
Домашнее задание . П.83, №10(3), №15
Рефлексия, включающая в себя и рефлексию учебной деятельности, и самоанализ, и рефлексию чувств и эмоций.
Какие формулы вы сегодня повторили?
Какие формулы вы узнали только сегодня?