Максимальная энергия магнитного поля. Энергия магнитного поля. Магнитное поле обладает энергией. Схемы соединения катушек индуктивностей

Магнитная энергия катушки.

При размыкании ключа K лампа ярко вспыхивает

Что собой представляет энергия катушки с током? В начальный момент времени по катушке идет ток , который создает магнитное поле. Исчезновение тока в катушке означает исчезновение магнитного поля. Значит, энергия катушки с током – это энергия её магнитного поля, она может быть найдена как работа убывающего тока

(8)

Для катушки
,
,


,

Объемная плотность энергии

, . (9)

Суммарная плотность энергии электрического и магнитного (электромагнитного) поля

(10)

Глава 1. Электродинамика Магнитное поле

1.21. Самоиндукция. Энергия магнитного поля

Самоиндукция является важным частным случаем электромагнитной индукции, когда изменяющийся магнитный поток, вызывающий ЭДС индукции, создается током в самом контуре. Если ток в рассматриваемом контуре по каким-то причинам изменяется, то изменяется и магнитное поле этого тока, а, следовательно, и собственный магнитный поток, пронизывающий контур. В контуре возникает ЭДС самоиндукции, которая согласно правилу Ленца препятствует изменению тока в контуре.

Собственный магнитный поток Φ, пронизывающий контур или катушку с током, пропорционален силе тока I :

В качестве примера рассчитаем индуктивность длинного соленоида, имеющего N витков, площадь сечения S и длину l . Магнитное поле соленоида определяется формулой (см. § 1.17 )

Следовательно, индуктивность соленоида равна

L = μ 0 n 2 Sl = μ 0 n 2 V ,

где V = Sl – объем соленоида, в котором сосредоточено магнитное поле. Полученный результат не учитывает краевых эффектов, поэтому он приближенно справедлив только для достаточно длинных катушек. Если соленоид заполнен веществом с магнитной проницаемостью μ, то при заданном токе I индукция магнитного поля возрастает по модулю в μ раз (см. § 1.17 ); поэтому индуктивность катушки с сердечником также увеличивается в μ раз:

ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна индуктивности катушки и скорости изменения силы тока в ней.

Магнитное поле обладает энергией. Подобно тому, как в заряженном конденсаторе имеется запас электрической энергии, в катушке, по виткам которой протекает ток, имеется запас магнитной энергии. Если включить электрическую лампу параллельно катушке с большой индуктивностью в электрическую цепь постоянного тока, то при размыкании ключа наблюдается кратковременная вспышка лампы (рис. 1.21.1). Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции. Источником энергии, выделяющейся при этом в электрической цепи, является магнитное поле катушки.

Из закона сохранения энергии следует, что вся энергия, запасенная в катушке, выделится в виде джоулева тепла. Если обозначить через R полное сопротивление цепи, то за время Δt выделится количество теплоты ΔQ = I 2 R Δt .

Ток в цепи равен

В этом выражении ΔI < 0; ток в цепи постепенно убывает от первоначального значения I 0 до нуля. Полное количество теплоты, выделившейся в цепи, можно получить, выполнив операцию интегрирования в пределах от I 0 до 0. Это дает

Таким образом, энергия W м магнитного поля катушки с индуктивностью L , создаваемого током I , равна

где V – объем соленоида. Это выражение показывает, что магнитная энергия локализована не в витках катушки, по которым протекает ток, а рассредоточена по всему объему, в котором создано магнитное поле. Физическая величина

равная энергии магнитного поля в единице объема, называется объемной плотностью магнитной энергии . Дж. Максвелл показал, что выражение для объемной плотности магнитной энергии, выведенное здесь для случая длинного соленоида, справедливо для любых магнитных полей.

Согласно азам физики, известно о наличии магнитного поля вокруг проводника или катушки с током. Данное поле в полной мере зависит от проводника, среды распространения поля и силы тока. Аналогично электрическому полю, магнитное поле является неким носителем энергии. Поскольку основным критерием, влияющим на энергию поля, является сила протекающего тока, то работа тока по созданию магнитного поля будет совпадать с энергией магнитного поля.

Энергия магнитного поля

Природу такого явления, как энергия магнитного поля, проще осознать, рассмотрев процессы, проходящие в цепи.

Элементы схемы:

1. L – катушка индуктивности;
2. Л – лампочка;
3. ε – источник постоянного тока;
4. К – ключ для замыкания и размыкания цепи.

При замкнутом ключе, согласно картинке (а), ток протекает от плюсовой клеммы источника тока по параллельным веткам через катушку индуктивности и лампочку. По катушке индуктивности протекает ток I0, а через лампочку протекает ток I1. В первый момент времени лампочка будет гореть более ярко, ввиду большого сопротивления катушки индуктивности. По мере уменьшения сопротивления катушки индуктивности и увеличения тока I0 лампочка будет гореть более тускло. Это объясняется тем, что в первый момент времени поступивший на катушку ток пропорционален току большой частоты, исходя из формулы индуктивного сопротивления катушки:

XL=2πfL, где:

• XL – индуктивное сопротивление катушки;
• f – частота тока;
• L – индуктивность катушки.

Индуктивное сопротивление катушки возрастает многократно. Катушка индуктивности в этот момент времени ведет себя как разрыв цепи. Со временем индуктивное сопротивление снижается до нуля. Поскольку активное сопротивление катушки индуктивности ничтожно мало, а сопротивление нихромовой нити лампочки велико, то практически весь ток цепи протекает через катушку.

После размыкания цепи ключом К, согласно картинке (б), лампочка не тухнет, а, наоборот, загорается более ярким светом и постепенно гаснет. Для осуществления горения лампочки необходима энергия. Энергия эта берется из магнитного поля катушки индуктивности и называется энергией магнитного поля. Благодаря этому катушка индуктивности выступает как источник энергии (самоиндукции), согласно картинке (в).

Определить активность магнитного поля возможно, рассмотрев электрическую схему.

Для расчета энергии магнитного поля есть необходимость в создании такой схемы, в которой энергия источника питания расходовалась бы непосредственно на образование магнитного поля. Соответственно, в схеме выше значениями внутреннего сопротивления источника питания и катушки индуктивности нужно пренебречь.

Обратите внимание! Из второго закона Кирхгофа следует, что сумма напряжений, подключенных к цепи, равна сумме падений напряжений на каждом из элементов цепи.

Общее напряжение цепи равно:

ε+εі=Ir+IR, где:

• ε – электродвижущая сила (напряжение) источника питания;
• εi – электродвижущая сила (напряжение) индукции;
• I – сила тока цепи;
• r – внутреннее сопротивление источника питания;
• R – внутреннее сопротивление катушки индуктивности.

Поскольку рассмотренная цепь идеальная, и внутренние сопротивления равны нулю, то формула преобразовывается в такую:

Электродвижущая сила самоиндукции зависит от индуктивности катушки и скорости изменения тока в цепи, а именно:

подставив значение в общую формулу, получается:

• ε-LΔI/Δt=0,
• ε= LΔI/Δt,
• ΔI= ε Δt /L.

Исходя из данной закономерности, с течением времени сила тока равняется:

Заряд, пройденный через катушку индуктивности, равен:

Объединив обе формулы, получаем:

Работа источника тока по переносу заряда по катушке индуктивности равняется:

A= εq=εLI2/2ε=LI2/2.

Поскольку рассматриваемая цепь является идеальной, а именно отсутствует какое-либо сопротивление, то затраченная работа источника тока пошла на формирование магнитного поля и соответствует энергии магнитного поля:

С целью исключения зависимости активности магнитного поля от характеристики катушки, необходимо преобразовать выражение через характеристику поля, а именно через вектор магнитной индукции:

1. B=µ0µIn, где:

• B – вектор магнитной индукции соленоида;
• µ0 – магнитная постоянная (µ0=4π×10-7 Гн/м)
• µ – магнитная проницаемость вещества;
• I – сила тока в цепи соленоида;
• n – плотность намотки, (n=N/l, где N – число витков, l – отрезок длины соленоида).

1. L=µ0µn2V, где:

V – объем катушки (или объем магнитного поля, сосредоточенного в катушке) (V=Sl, S – площадь поперечного сечения соленоида, l – длина соленоида).

Если воспользоваться формулами (1 и 2), выражение, определяющее энергию магнитного поля, выглядит как:

Wмаг=B2V/2µ0µ.

Рассмотренная формула справедлива при условии, что фон однотипный. Если поле неоднородное, то необходимо рассматривать параметр, характеризующий концентрацию активности в этой зоне. Эта величина именуется как объемная плотность энергии магнитного поля.

Объемная плотность магнитной энергии

Она определяется по выражению:

ωмаг=Wмаг/V, где:

• ωмаг – объемная плотность энергии магнитного поля;
• V – объем некой зоны, где создано магнитное поле.

Единицей измерения объемной плотности энергии магнитного поля является отношение – Дж/м3.

Подставив в искомое выражение значение энергии поля W маг, получаем окончательную формулировку, определяющую объемную плотность:

ωмаг= B2/2µ0µ.

Изложенная информация подробно раскрывает порядок нахождения такого параметра поля, как энергия магнитного поля. Поскольку указанная величина применима для однородного поля, то для проведения вычислений в неоднородном магнитном поле используется величина, определяющая концентрацию или плотность энергии поля.

Видео

Энергия магнитного поля при наличии магнетиков

Пусть все рассматриваемое пространство заполняет однородный магнетик. В нем индукция магнитного поля, которое создают токи, изменяется в $\mu $ раз в сравнении с индукцией в вакууме. Во столько же изменяются магнитные потоки $Ф$ и $dФ.$ Элементарная работа, выполняемая внешним источником против электродвижущей силы индукции, будет равна:

Допустим, что магнитное поле создается двумя контурами. Если $L_{11}$ - индуктивность первого контура, $L_{22}$ - индуктивность второго контура, то можно записать, что:

Поток ${\Phi }_{12}$, который пересекает контур (1), создаваемый током во втором контуре равен:

где $L_{12}$- постоянная, взаимная индуктивность первого и второго контуров. Для второго контура имеем:

Из формул (2) - (4) следует, что если изменяются магнитные потоки в магнетике, то индукции контура и взаимные индукции увеличиваются в $\mu $ раз. Это значит, что взаимные индукции контуров равны:

При этом магнитные потоки в магнитике могут быть выражены как:

где $r_{21}=r_{12}$ - расстояния между элементами контуров с током $d\overrightarrow{l_1}и\ d\overrightarrow{l_2}$.

Формула же записанная для энергии магнитного поля , которое создано двумя контурами с токами для вакуума и магнетика (при отсутствии ферромагнетика) по форме не изменяется:

Если магнитное поле образуется $N$ контурами, то его энергию можно вычислить как:

Рисунок 1.

при $i=k$ коэффициент $L_{ik}$ называется индуктивностью контура ${\rm I}$, при $i\ne k$, этот же коэффициент называют взаимной индуктивностью ${\rm I}$-го и k-го контуров. Эти коэффициенты определяются формулами при $i\ne k$:

где $d\overrightarrow{l_i},d\overrightarrow{l_k}$ - элементы длины контуров ${\rm I}$-го и $k$-го. $r_{ik}-$расстояние между ними. При этом $L_{ik}=L_{ki}$. В результате получается, что энергия магнитного поля токов, которые текут в неограниченном однородном магнетике, изменяется в $\mu $ раз в сравнении с энергией этих же токов в вакууме.

Объемная плотность энергии магнитного поля

Магнитное поле, которое создают токи, распределено по всему пространству. Допустим, что магнитное поле создается одиночным контуром с током. Магнитная энергия поля в таком случае может быть представлена как:

где поток магнитной индукции можно выразить как:

где $L$ контур тока, $S$ - поверхность, которая натянута на контур $L$, $\overrightarrow{A}\ $- векторный потенциал, магнитного поля, которое создается током $I$. Замкнутый ток взаимодействует со своим магнитным полем. Каждый элемент тока $Id\overrightarrow{l}$ создает в пространстве собственное магнитное поле, с которым взаимодействуют другие элементы тока.

Подставим (11) в формулу (10), получим:

Проведем переход от линейных токов к объемным токам с помощью соотношения:

Из выражения (10) получим:

Используем известные формулы:

Преобразуем выражение (12), получим:

По теореме Остроградского - Гаусса имеем:

В том случае, если точки рассматриваются в конечной области пространства, на больших расстояниях от этой области $A\sim \frac{1}{r}$, $H\sim \frac{1}{r^2}$, то есть подынтегральное выражение убывает пропорционально $\frac{1}{r^3}$. Поверхность при этом растет пропорционально $r^2$, получаем, что интеграл уменьшается $\sim \frac{1}{r}.$ Получается, что при $r\to \infty $, второй интеграл в выражении (15) равен нулю, тогда полная энергия выражается формулой:

Тогда, можно сказать, что объемная плотность энергии магнитного поля в пространстве равна:

Энергия магнетика во внешнем поле

Если имеется фиксированное распределение токов в пространстве, то энергия магнетика в магнитном поле равна:

где $\overrightarrow{J}$ - намагниченность магнетика, $\overrightarrow{B_0}$ - магнитное поле в свободном пространстве.

Пример 1

Задание: Вычислите магнитную проницаемость железа, если в поле с индукцией $B=1Тл$ плотность энергии магнитного поля в веществе $200 \frac{Дж}{м^3}$.

Решение:

Из формулы (1.1) выразим магнитную проницаемость, получим:

\[\mu =\frac{1}{2}\frac{B^2}{w_m{\mu }_0}\left(1.2\right).\]

Проведем вычисления:

\[\mu =\frac{1}{2}\cdot \frac{1^2}{200\cdot 1,26\cdot {10}^{-6}}=2\cdot {10}^3.\]

Ответ: $\mu =2\cdot {10}^3.$

Пример 2

Задание: Определите, как изменится объемная плотность энергии магнитного поля, если индукция магнитного поля тороида, который имеет ферромагнитный сердечник, увеличилась от $B_1=0,9\ Тл\ до\ B_2=1,2\ Тл$. Зависимость $B(H)$ представлена графиком на рис.2.

Рисунок 2.

Решение:

В качестве основания для решения задачи используем формулу

Запишем формулу (2.1) для двух состояний магнитного поля и найдем отношение $\frac{w_{2m}}{w_{1m}}$:

\[\frac{w_{2m}}{w_{1m}}=\frac{1}{2}H_2B_2\cdot 2\frac{1}{H_1B_1}=\frac{H_2B_2}{H_1B_1}\left(2.2\right).\]

По графику находим, что при $B_1=1\ Тл\ H_1=400\frac{A}{м}\ до\ B_2=1,2\ Тл\ H_2=800\frac{A}{м}\ $.

Следовательно, искомое отношение равно:

\[\frac{w_{2m}}{w_{1m}}=\frac{1,2\cdot 800}{1\cdot 400}=2,4.\]

Ответ: $\frac{w_{2m}}{w_{1m}}=2,4.\ $

Вокруг проводника с током существует магнитное поле, которое обладает энергией.
Откуда она берется? Источник тока, включенный в эл.цепь, обладает запасом энергии.
В момент замыкания эл.цепи источник тока расходует часть своей энергии на преодоление действия возникающей ЭДС самоиндукции. Эта часть энергии, называемая собственной энергией тока, и идет на образование магнитного поля. Энергия магнитного поля равна собственной энергии тока.
Собственная энергия тока численно равна работе, которую должен совершить источник тока для преодоления ЭДС самоиндукции, чтобы создать ток в цепи.

Энергия магнитного поля, созданного током, прямо пропорциональна квадрату силы тока.
Куда пропадает энергия магнитного поля после прекращения тока? - выделяется (при размыкании цепи с достаточно большой силой тока возможно возникновение искры или дуги)

Магни́тное по́ле - силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды и на тела, обладающие магнитным моментом, независимо от состояния их движения. Магнитное поле может создаваться током заряженных частиц, либомагнитными моментами электронов в атомах (постоянные магниты). Можно также рассматривать магнитное поле как релятивистскую составляющую электрического поля. Точнее, магнитные поля являются необходимым следствием существования электрических полей и специальной теории относительности. Вместе, магнитное и электрическое поля образуют электромагнитное поле, проявлениями которого являются свет и прочие электромагнитные волны. Электромагни́тное по́ле - фундаментальное физическое поле, взаимодействующее с электрически заряженными телами, представимое как совокупность электрического и магнитного полей, которые могут при определённых условиях порождать друг друга.

43. Если неподвижные заряды возбуждают электростатическое поле, то возникает силовое поле, которое действует на движущиеся заряды.

Всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем простран­стве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре. по Максвеллу, изменяющееся во времени магнитное поле порождает элект­рическое поле Е B , циркуляция которого, по

где Е Bl - проекция вектора Е B на направление dl .

Подставив в формулу выражение , получим

циркуляция вектора напряженности электростатического поля (обозначим его E Q) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

44. Видно, что между рассматриваемыми полями (E B и Е Q ) имеется принципиальное различие: циркуляция вектора E B в отличие от циркуляции вектора E Q не равна нулю. Следовательно, электрическое поле E B , возбуж­даемое магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым .

Согласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружа­ющем пространстве вихревое электрическое поле, то должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля. Для рассмотрения этого вопроса Максвелл ввёл понятие ток смещения.

По Максвеллу, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обклад­ками конденсатора существовал ток смещения, равный току в подводящих проводах. Тогда можно утверждать, что токи проводимости (I ) и смещения (I см) равны: I см =I.

Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора

(поверхностная плотность заряда s на обкладках равна электрическому смещению D в конденсаторе). для общего случая можно записать

Сравнивая это выражение с , имеем

было названо Максвеллом плотностью тока смещения .

Электрический ток обладает запасом так называемой магнитной энергии. Если в процессе вычисления данной энергии принимать все провода за идеально проводящие, то это не повлияет на результат, по той причине, что магнитная энергия зависима лишь от величины и распределения токов, а также от магнитных свойств заполняющей пространство среды.

Вывод формулы энергии магнитного поля

Для начала рассмотрим случай с одиночным неподвижным замкнутым контуром (витком проводника).

Пример 1

Пускай изначально сила тока в нем равняется нулю. Не важно каким способом доводим значение тока в витке до I . Вместе с ростом тока в контуре повышается и значение магнитного потока Ф, проходящего через него. Возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции. Элементарная работа, производимая внешним источником против ЭДС индукции, будет эквивалентна следующему выражению: δ A в н е ш = - ε и н д I d t .

Применяя закон Фарадея, выводим: δ A в н е ш = 1 c I d Φ .

Данное соотношение носит общий характер. Оно является справедливым и для ферромагнитных материалов, ведь в процессе его вывода относительно магнитных свойств среды не вводилось никаких предположений. Однако стоит отметить, что в случае, когда среда не обладает гистерезисом, к примеру, являясь пара- или диамагнетиком, δ A в н е ш будет применяться исключительно в целях роста значения магнитной энергии W m , соответственно:

d W m = I c d Φ .

Исходя из условий закона Био-Савара-Лапласа, можно заявить, что индукция магнитного поля тока линейно зависима от силы тока. В условиях переменной силы тока, протекающего по жесткому неподвижному контуру, картина силовых линий не претерпевает изменений, а индукция в каждой точке прогрессирует пропорционально силе тока. Соответственно, поток магнитной индукции Ф, проходящий через неизменную и недвижимую площадь, тоже пропорционален силе тока, по этой причине: Φ = L I c ,

где L представляет собой индуктивность контура, постоянный коэффициент пропорциональности, не обладающий зависимостью от силы тока и индукции магнитного поля. Подставим (5) в (4) , получим:

Из формулы (6) следует, что:

Определение 1

Формула W m = L 2 I c 2 = 1 2 c определяет энергию магнитного поля, формирующегося током (I) , который протекает по контуру с индуктивностью L .

Формула W m = L 2 I c 2 = 1 2 c может быть записана в следующем виде: W m = 1 c ∫ ∑ I i " d Φ i " .

Для справедливости формул W m = L 2 I c 2 = 1 2 c и I Φ = Φ 2 2 L незначительно, что виток в процессе возрастания тока остается неподвижным, по той причине, что энергия зависима лишь от состояния системы, а не от способа достижения такого состояния.

Примеры решения задач

Пример 2

Задание: Сила тока в витке эквивалентна I = 1 А. Магнитный поток Ф, проходящий через площадь витка составляет 100 м к В б. Найдите энергию магнитного поля в витке.

Решение

В качестве фундамента решения задачи примем формулу: W m = 1 2 I Φ .

Переведем величину магнитного потока, заданного в условиях задачи, в систему С И: 100 м к В б = 10 - 4 В б.

Проведем вычисления: W m = 1 2 · 1 · 10 - 4 = 5 · 10 - 3 (Д ж) .

Ответ: W m = 5 · 10 - 3 (Д ж) .

Пример 3

Задание: Рядом друг с другом расположены два витка проводника. По первому протекает ток I = 1 А. Второй соединен с баллистическим гальванометром, при выключении тока в контуре (1) через гальванометр проходит заряд q = 10 - 8 К л. Полное сопротивление цепи равно R = 5 О м. Чему равняется взаимная индуктивность витков?

Решение

Магнитная энергия (W m) витка с током может быть записана как: W m = L I 2 2 . С другой стороны энергия витка, который соединен с гальванометром, может быть рассчитана как: W m " = q U 2 . Заряд на втором контуре появляется благодаря тому, что он находится в переменном магнитном поле первого витка, и по закону сохранения энергии мы можем записать, что: W m " = W m . Следовательно, мы можем приравнять и правые части выражений W m = L I 2 2 и W m " = q U 2 , получим: L I 2 2 = q U 2 → L I 2 = q U . Из уравнения выше выразим индуктивность: L = q U I 2 . По закону Ома для участка цепи имеем: U = I R . Соответственно: L = q R I .

Эта задача может быть решена иным способом. Обозначим через ε 2 ЭДС индукции, которая вызвана переменным магнитным полем, которое создается в момент выключения тока в первом контуре: ε 2 = - L d I d t . ЭДС индукции можно записать по закону Ома следующим образом: ε 2 = I 2 R , где силу тока найдем как: I 2 = d q d t , в таком случае выражение ε 2 = I 2 R преобразуется в формулу вида: ε 2 = d q d t R . Приравняем правые части выражений ε 2 = - L d I d t и ε 2 = d q d t R , на выходе получим: - L d I d t = d q d t R → - L d I = R d q .

Проинтегрируем приведенную выше формулу с учетом того, что ток в первом контуре меняется от I до нуля, а заряд во втором от нуля до q , получим: - L ∫ I 0 d I = R ∫ 0 q d q → L I = R q → L = R q I .

Данный метод дает абсолютно такой же результат. Таким образом, раз все величины в условиях задачи приведены в системе С И, произведем вычисления: L = 10 - 8 · 5 1 = 5 · 10 - 8 (Г н) .

Ответ: L = 50 н Г н.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter